공업수학 복소해석학, 복소평면

공업수학2의 가장 큰 토픽은 복소해석학.

교수님께서는 너희가 배우는 모든게 다 이차 미분방정식을 풀기 위해 배우는거라고 하셨다. 나도 매우 동감한다.

복소수 i의 등장과, 복소평면을 맛보기로 다룬다.

우리가 중학교때 배운 근의 공식에서 루트 내부 값을 판별식으로 켤레제곱근이 나온다고 배웠다.

유도과정은 간단하다. x^5=1을 풀어보면

(x-1)로 묶은 뒤 조립제법으로 다른 항을 구한다.

x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) 이고, 기존 지식으로는 이차식에 대해 근의 공식을 쓸 수 있으므로 이차식으로 변환한다.

x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 를 x^2으로 나누면
x^2 + x + 1 + 1/x + 1/x^2 = 0
정리하면 (x^2 + 1/x^2) + (x + 1/x) + 1 = 0
x+1/x = t로 치환하면
t^2 + t - 1 = 0

근의 공식에 대입하면

t = [-1 ± √(1^2 - 4 * 1 * -1)] / (2 * 1)

t = [-1 ± √5] / 2

따라서 t의 두 해

t1 = (-1 + √5) / 2

t2 = (-1 - √5) / 2

t = x + 1/x = [-1 ± √5] / 2
양 변에 x를 곱해 정리하면

x^2 - [(-1 + √5) / 2]x + 1 = 0

양 변에 2를 곱하면

2x^2 - (-1 + √5)x + 2 = 0

2x^2 + (1 - √5)x + 2 = 0

각각 근의 공식에 대입해 해를 구하면

x₁ = (√5 - 1)/4 + i * (√(10 + 2√5))/4

x₂ = (√5 - 1)/4 - i * (√(10 + 2√5))/4

x₃ = (-1 - √5)/4 + i * (√(10 - 2√5))/4

x₄ = (-1 - √5)/4 - i * (√(10 - 2√5))/4

 

이렇게 해를 구한다.

복소평면을 쓰면?

 

한번쯤 본 적이 있는 세상에서 가장 아름다운 공식 - 오일러 포뮬러

 

지수와 세타(페이저) 성분으로 변환하면 좋은 점이 뭘까?

2^3 * 2^2 를 구한다고 하자. 지수에서 곱셈은 덧셈이 된다. 2^(3+2) = 2^5

이게 핵심.

복소평면에서 x^4=1의 해를 하나 구해보자. 1과 -1은 직관적으로 알 수 있다.

그리고 i와 -i도 바로 알아챌 수 있다.

각각 각도를 정하고 네 번 곱해보자.

x1 = 1 -> e^i(0+0+0+0)=1. 그래프상으로는 0도씩 네번 더하는것.

x2 = i -> 90도를 네번 더한것. 360도가 되어 1이 됨.

x3 = -1은 생략

x4 = -i도 270도를 네번 더한것. 3/4 * 4 * 2pi가 된다.

 

그러면 x^5=1은? 복소평면에서 크기 1인 원을 5로 나눈 좌푯값이다!

p1=1

p2=cos(1/5 *2pi )+isin(1/5 *2pi )

p3=cos(2/5 *2pi )+isin(2/5 *2pi )

p4=cos(3/5 *2pi )+isin(3/5 *2pi )

p5=cos(4/5 *2pi)+isin(4/5 *2pi )

 

아주 쉬워진다.

그리고 주기성을 가지기 때문에 주파수 차원으로의 이동인 푸리에 변환

선형매핑,Z변환,(아이겐 벨류만 전치한다는 개념에서 라플라스변환과 같다.) 라플라스 변환까지도 이용된다.

전자회로에서는 페이저 개념을 통해 위상 변환, 하이패스필터, 로우패스필터 등의 개념 이해에도 쓰이고, 커패시터와 인덕터의 위상 요소, 리액턴스 요소 등을 학습하는 데 까지 이어진다.다음은 기본적인 2차미분방정식으로 표현 가능한 현실의 예제를 가져오겠다.