2차 미분방정식의 물리적 예시

우리 주변의 사물의 움직임을 기술하는 도구로서 물리와 수학은 아주 유용하다.

미분은 변화율. 2차 미분은 변화율의 변화율을 뜻한다.

F=ma, V=IR 같은 기본 개념만 있으면 이해할 수 있도록 최대한 단순하게 설명하겠다.

자동차의 움직임

PID 제어 원하는 목표값에 도달하고 유지하기 위해 현재 상태와의 오차를 계속 보정하는 피드백 시스템

PID 제어기 자체가 2차 미분방정식은 아니지만, PID 제어를 받는 많은 시스템의 움직임이나 반응의 동적 특성을 2차 미분방정식으로 표현.

진동학 (스프링, 댐퍼, 질량)

스프링과 댐퍼에 메달린 질량 시스템
- 질량(m): 물체의 관성. F=ma에서 a는 위치의 두 번 미분 (d²x/dt²).
- 스프링(k): 원래 길이에서 변형된 길이에 비례해 복원력을 작용 (F_s = -kx). (위치 x에 관련)
- 댐퍼(c): 움직이는 속도에 비례해 저항력을 작용 (자동차 쇼크 업소버 생각!) (F_d = -cv). (속도 v = dx/dt에 관련)
미분방정식: 이 모든 힘의 합(ma = -kx -cv)을 정리하면 m(d²x/dt²) + c(dx/dt) + kx = 0
우리 주변의 모든 진동을 설명하는 기본 모델

기본 전자회로 RLC 회로

전자회로에서도 2차 미분방정식이 등장. 질량 m은 전하량 q에 대응된다.
- R (저항): 전류의 흐름을 방해.
- L (인덕터/코일): 전류의 '변화'에 저항. (전류 변화율, dI/dt에 관련). 에너지를 자기 형태로 저장. 자기장을 다시 전기장으로 복원하는 과정에서 권선비 등을 통해 변압기로 쓰이기도 한다.
- C (커패시터/축전기): 전하를 저장, 전압의 '변화'에 따라 전류가 흐름. (전압 변화율, dV/dt에 관련). 에너지를 전기장 형태로 저장. 이게 없는 전자회로는 서스펜션이 없는 자동차와 같다. 커패시터를 잘 결선하면 전기충격기를 만들 수 있다.
방정식: 전하량(q)의 움직임이나 전류(I)의 흐름은 L(d²q/dt²) + R(dq/dt) + (1/C)q = V(t) (여기서 V(t)는 외부 전압) 형태의 2차 미분방정식

2차 미분방정식은 에너지방정식에서도 쓰인다.

에너지는 일할 수 있는 능력. 단위도 일과 같다. 저장된 힘에 의한 에너지(중력 위치에너지(mgh / 탄성위치에너지 (1/2)kx² +움직임에 의한 에너지(운동에너지 1/2 mv^2)

일의 정의: 일(Work, W)은 힘(Force, F)을 가하여 물체가 변위(displacement, ds)만큼 이동했을 때 힘과 변위의 내적을 적분한 값. W = ∫ F ds
뉴턴의 제2법칙: F = ma. W = ∫ (ma) ds
가속도(a)를 속도(v)의 시간 미분으로 표현: 가속도 a = dv/dt. W = ∫ m (dv/dt) ds
변위 미소 변화량(ds)과 속도(v), 시간 미소 변화량(dt)의 관계: 속도 v = ds/dt 이므로, ds = v dt. W = ∫ m (dv/dt) (v dt)
정리: dv/dt dt = dv. W = ∫ m v dv = 1/2mv^2

이 때, 운동에너지는 위치에너지로 변환될 수 있다. 1/2mv^2 = mgh . 일 - 에너지 보존법칙

흐르는 것의 정의: 베르누이 방정식

개념: 비점성 뉴턴유체가 흘러갈 때, 속도, 압력, 높이 사이의 관계를 설명하는 아주 중요한 방정식. 흐르는 유체의 에너지 보존 법칙 이라고도 할 수 있다. 이것을 더 일반화 한 것이 나비에 스톡스 방정식.
방정식 형태 (간단히): 압력 에너지 + 운동 에너지 + 위치 에너지 = 일정 (정확한 식: P + (1/2)ρv² + ρgh = 일정.
여기서 P: 압력, ρ: 밀도, v: 속도, g: 중력가속도, h: 높이)
개념적인 유도
1. 작은 유체 덩어리가 흘러간다고 상상해보자
2. 이 덩어리에 작용하는 힘은 주변의 압력차에 의한 힘과 중력.
3. 이 힘들이 유체 덩어리에 일을 하면, 유체 덩어리의 운동 에너지와 위치 에너지가 변한다.(일-에너지 정리).
4. 이 관계를 잘 정리하면, "압력에 의한 에너지 + 운동 에너지 + 위치 에너지의 합이 흐르는 경로를 따라 일정하게 유지된다"는 베르누이 방정식이 나온다.
신기한 예시:
- 호스 끝을 손으로 좁히면 물줄기가 더 빨라진다. (속도 증가 → 압력 감소)
- 비행기 날개 위쪽은 공기 흐름이 빨라져 압력이 낮아지고, 아래쪽은 느려 압력이 높아져서 위로 뜨는 힘(양력)이 생긴다.
핵심: 유체가 흐를 때 속도, 압력, 높이는 서로 변환될 수 있는 에너지의 다른 형태들이며, 그 총합은 보존된다.